ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

1. Σε μια περιοχή μετρήθηκε το μέγεθος των σεισμών κατά την διάρκεια του 1999 σε μεγέθη της κλίμακας Richter. Μετρήθηκαν 28 σεισμοί με μέγεθος:

2,1	3,4	5,2	4,7	1,6	3,4	4,5
3,2	4,9	5,1	4,2	2,7	2,9	3,4
4,3	2,7	4,1	4,9	3,6	3,5	4,3
2,9	4,4	4,7	2,8	2,3	2,9	3,6

Α) Να υπολογιστούν:

· Η μέση τιμή x και η επικρατούσα τιμή ε.

· Η διασπορά S² και την τυπική απόκλιση S.

· Την διάμεσο δ και το ενδοτερταμόριο με πλάτος (Q₃-Q₁).

Β) Πόσες παρατηρήσεις βρίσκονται στο διάστημα (x-s,x+s);

Γ) Να γίνουν τα ραβδογράμματα συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων.

Σημ: αριθμός διαστήματος=s (ΙΟΥΝΙΟΣ 2001)

2. Μια μηχανή κατασκευάζει βίδες των οποίων το μήκος ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέσο 5 cm και τυπική απόκλιση 0,1cm. Μια βίδα θεωρείται ελαττωματική αν το μήκος της είναι μικρότερο από 4,8 cm ή μεγαλύτερο από 5,2 cm.

Α) Αν μια βίδα εκλέγει στην τύχη να βρείτε ποια είναι η πιθανότητα το μήκος της να είναι:

· Μεταξύ 4,95 και 5,05 cm.

· Μεγαλύτερο από 5,15 cm.

Β) Τι ποσοστό ελαττωματικών βιδών παράγει η μηχανή;

Γ) Αν διαλέξουμε 4 βίδες στην τύχη ποια είναι η πιθανότητα τουλάχιστον 2 να είναι ελαττωματικές; (ΙΟΥΝΙΟΣ 2001)

3. Α) Να βρεθεί η τιμή της σταθεράς c έτσι ώστε η συνάρτηση:

f(x)=c(x+1) ,για 0<x<2 και

f(x)=0 ,για αλλού.

να είναι συνάρτηση πιθανότητας.

Β) Να υπολογιστούν οι πιθανότητες: P(x£1) και P(1£x£2).

Γ) Να βρεθούν ο μέσος E(x) και η διασπορά V(x).

Δ) Να βρεθεί η αθροιστική συνάρτηση κατανομής f(x). (ΙΟΥΝΙΟΣ 2001)

4. Η συνεχής τυχαία μεταβλητή x έχει συνάρτηση πυκνότητας:

f(x)=ax(4-x) ,για 0£x£4 και

f(x)=0 ,για αλλού.

Να υπολογιστούν:

Α) Η σταθερά a

Β) Η μέση τιμή E(x) και η διασπορά V(x) της τ.μ. x.

Γ) Η πιθανότητα P(x>1,5).

Δ) Η πιθανότητα P(1£x£2).

Ε) Ποια η πιθανότητα P(x=1,5). (ΙΟΥΝΙΟΣ 2001)

5. Για να διαπιστωθεί αν μια γυναίκα πάσχει από καρκίνο της μήτρας υποβάλλεται σε test ΠΑΠ το οποίο δίνει σωστή απάντηση στις 80% των περιπτώσεων όταν η γυναίκα πάσχει από καρκίνο (ορθώς θετικό) και στις 92% των περιπτώσεων όταν η γυναίκα δεν πάσχει (ορθώς αρνητικό). Από τις γυναίκες που υποβάλλονται σε test ΠΑΠ μόνο το 5% πάσχει από καρκίνο.

Α) Ποια η πιθανότητα για κάποια γυναίκα που εξετάζεται το test ΠΑΠ να είναι θετικό;

Β) Ποια η πιθανότητα ενός ψευδούς θετικού ευρήματος; (Δηλ. Το test να είναι θετικό ενώ η γυναίκα δεν πάσχει). (ΙΟΥΝΙΟΣ 2001)

6. Έστω ότι η διπλωματική εργασία ενός μεταπτυχιακού φοιτητή στον τομέα της Σεισμολογίας περιέχει 3 τυπογραφικά λάθη ανά σελίδα (ακολουθεί την κατανομή Poisson). Να υπολογιστούν:

Α) Η πιθανότητα όπως σε μια σελίδα που εκλέγεται τυχαία να υπάρχουν 3 ακριβώς λάθη.

Β) Η πιθανότητα όπως σε μια σελίδα να υπάρχουν τουλάχιστον 2 λάθη.

Γ) Η πιθανότητα όπως σε μια σελίδα να υπάρχει το πολύ 1 λάθος.

Δ) Η πιθανότητα σε δυο σελίδες να υπάρχουν ακριβώς 4 λάθη. (ΙΟΥΝΙΟΣ 2001)

7. Είναι γνωστό ότι το ύψος των ανθρώπων ακολουθεί την κανονική κατανομή. Αν x το ύψος των Ελλήνων ανδρών με x ~ N(μ=172, σ²=100) και y το ύψος των Ελληνίδων με y ~ N(μ=164, σ²=64). Να υπολογιστούν οι πιθανότητες:

Α) Ένας Έλληνας να έχει ύψος μεγαλύτερο των 187cm.

Β) Μια Ελληνίδα να έχει ύψος μεταξύ 156cm και 172 cm.

Γ) Μια Ελληνίδα να έχει ύψος μικρότερο των 164cm.

Δίνονται τα: Φ(1,5)=0,9332 και Φ(1)=0,6826 (ΙΟΥΝΙΟΣ 2001)

8. Οι βαθμοί στη Στατιστική ενός δείγματος 5 φοιτητών ήταν:

10 5 3 7 5

Α) Να βρεθούν: ο δειγματικός μέσος, η δειγματική διασπορά, η κορυφή και η διάμεσος.

Β) Εάν οι βαθμοί στη Στατιστική ακολουθούν την κανονική κατανομή να βρεθεί ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τον άγνωστο μέσο μ χρησιμοποιώντας τις προηγούμενες παρατηρήσεις. (ΙΟΥΝΙΟΣ 2001)

9. Α) Φοιτητές ψήφισαν σε τρία τμήματα Τ₁, Τ₂, Τ₃ τους υποψήφιους Υ₁ και Υ₂. Στη μέτρηση βρέθηκαν Τ₁: 20 υπέρ Υ₁ και 40 υπέρ Υ₂, Τ₂: 30 υπέρ Υ₁ και 30 υπέρ Υ₂, Τ₃: 40 υπέρ Υ₁ και 20 υπέρ Υ₂. Διαλέγουμε κατά τύχη ένα τμήμα και παίρνουμε τυχαία 5 ψήφους από τις οποίες οι 3 είναι υπέρ του Υ₁ και οι 2 υπέρ του Υ₂. Ποια η πιθανότητα να έχουμε διαλέξει το τμήμα Τ₁;

Β) Η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την κατανομή Ν(40, 25). Να υπολογισθούν οι πιθανότητες P(X£40), P(35<X<45) και

P(X £45|X³40). Δίνεται Φ(1)=0,8413. (ΙΟΥΝΙΟΣ 2000)

10. Α) Ο χρόνος αναμονής Χ σε λεπτά σε ένα συγκεκριμένο σταθμό του μετρό είναι συνεχής τυχαία μεταβλητή με αθροιστική συχνότητα κατανομής:

F(x)=0 ,για x<o και

F(x)=2cx ,για 0£x<1 και

F(x)=2c ,για 1£x<2 και

F(x)=cx ,για 2£x<4 και

F(x)=1 ,για x³4

Να υπολογισθούν:

Ι) Η σταθερά c, η μέση τιμή Ε(Χ) και η διασπορά V(Χ).

ΙΙ) Οι πιθανότητες P(X£5/2), P(3<X£5) και P(X<3|X>1).

Β) Η τυχαία μεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας που δίνεται από τον πίνακα:

x	0	1	2	3
P(X=x)	1/8	3/8	2/8	2/8

Να βρεθεί η συνάρτηση πιθανότητας της Y=(X-1)². (ΙΟΥΝΙΟΣ 2000)

11. Α) Ο αριθμός των τηλεφωνικών κλήσεων που φθάνουν σε ένα τηλεφωνικό κέντρο ακολουθεί την κατανομή Poisson με μέσο όρο 6 κλήσεις ανά λεπτό. Να βρεθεί η πιθανότητα:

Ι) Σε διάστημα 3 λεπτών να πάρουμε τουλάχιστον 20 κλήσεις.

ΙΙ) Από τα τέσσερα διαφορετικά διαστήματα τριών λεπτών που εξετάσαμε, στο κάθε ένα από τα τρία, να έχουμε τουλάχιστον 20 κλήσεις.

Β) Δίνονται τα γεγονότα Α,Β και Γ και οι πιθανότητες P(A)=0,48, P(B)=0,40, P(Γ)=0,56, P(AB)=0,20, P(AΓ)=0,43, P(BΓ)=0,23 και P(ABΓ)=0,15.

Να υπολογισθούν οι πιθανότητες των γεγονότων:

Ι) Δ={ Να συμβαίνει τουλάχιστον ένα από τα Α,Β,Γ.}

II) Ε={ Να συμβαίνουν τουλάχιστον δυο από τα Α,Β,Γ.}

ΙΙΙ) Ζ={ Να συμβαίνει ακριβώς ένα από τα Α,Β,Γ.}

ΙV) Η={Να συμβαίνουν ακριβώς δυο από τα Α,Β,Γ.} (ΙΟΥΝΙΟΣ 2000)

12. Οι ηλικίες 60 μελών ενός συλλόγου έδωσαν την εξής εμπειρική κατανομή:

Ηλικία	35,5-45,5	45,5-55,5	55,5-65,5	65,5-75,5
Αριθμός μελών	24	15	12	9

Ι) Να υπολογισθεί ο δειγματικός μέσος x, η δειγματική διασπορά S²,

η διάμεσος και η κορυφή.

ΙΙ) Να γίνουν τα ιστογράμματα συχνοτήτων και αθροιστικών

συχνοτήτων και μέσω αυτών να υπολογισθούν γραφικά η διάμεσος

και η κορυφή.

ΙΙΙ) Να υπολογισθεί η πιθανότητα του ενδεχόμενου ένα μέλος του

συλλόγου να είναι μεταξύ 45,5 και 50 χρόνων. (ΙΟΥΝΙΟΣ 2000)

13. Οι μετρήσεις Χ του ουρικού οξέος των ανδρών ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή 5,4mg/100ml και τυπική απόκλιση 1mg/100ml.

Α) Να υπολογισθεί η πιθανότητα ώστε η μέτρηση να είναι μεγαλύτερη από 6,4mg/100ml.

Β)Λαμβάνουμε τυχαίο δείγμα 25 μετρήσεων. Να υπολογισθούν οι πιθανότητες:

Ι) Ο μέσος όρος τους να είναι μεταξύ 5,4 και 5,6mg/100ml.

ΙΙ) 5 από αυτές να είναι μεγαλύτερες από 6,4mg/100ml (η κάθε μια).(ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 1999)

14. Η εμπειρική κατανομή του βάρους σε κιλά 100 ατόμων μιας περιοχής δίνεται από τον παρακάτω πίνακα:

Διάστημα	Συχνότητες
20-40	20
40-60	20
60-80	50
20-100	10

Α) Να υπολογισθεί η πιθανότητα ώστε ένα άτομο που επιλέγεται στην τύχη να είναι μεταξύ 40 και 70 κιλών.

Β) Να υπολογισθούν η μέση τιμή, η διασπορά, η διάμεσος και η κορυφή των τιμών.

Γ) Να γίνουν τα ιστογράμματα σχετικών συχνοτήτων και σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων καθώς και οι γραφικές παραστάσεις της κορυφής και της διαμέσου. (ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 1999)

15. Το παρακάτω δείγμα δίνει τις τιμές του κεφαλικού δείκτη (πλάτος κρανίου/μήκος κρανίου)*100.

73 76 76 71 69 70 72 76 74

Υποθέτοντας ότι ο δείκτης ακολουθεί την Ν(μ, σ²):

Α) Να ελέγξετε σε ε.σ. 5% κατά πόσο ο μέσος δείκτης είναι μ=75

και κατά πόσο η διασπορά είναι σ²=9.

Β) Να δοθούν δ.ε. συντελεστού 95% για το μ και το σ².(ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 1999)