ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

1. Το μήκος της ακτίνας μιας σφαίρας είναι 3cm και έχει μετρηθεί με σφάλμα Δr=-0,004. Να βρεθούν το σφάλμα, το σχετικό σφάλμα και το εκατοστιαίο σφάλμα στον υπολογισμό του όγκου αυτής της σφαίρας. (ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2000)

2. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα: α) òxημxdx, β) ò(xdx)/(x+1)². (ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2000)

3. Να βρεθεί το μήκος τόξου της καμπύλης του επιπέδου με (καρτεσιανή) εξίσωση: y=e^x, xε[0, 1]. (ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2000)

4. Nα βρεθεί ο όγκος του στερεού που παράγεται δια περιστροφής της περιοχής R(f(x)=ημx, a=0, b=π/4) του επιπέδου, περί τον άξονα των x, κατά γωνία 2π. (ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2000)

5. α) Να μελετηθεί λεπτομερώς ως προς την σύγκλιση η σειρά Σωⁿ, β) Να αποδειχτεί ότι Σ2/3^n-1=3. (ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2000)

6. Να αναπτυχθεί σε σειρά Maclautin η συνάρτηση f(x)=e^3x. (ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2000)

7. α) Να δοθούν οι ορισμοί: διαφορική εξίσωση (Δ.Ε), τάξη της Δ.Ε, βαθμός της Δ.Ε, λύση της Δ.Ε. β) Να λυθεί η Δ.Ε: x²(dy/dx)²+xy(dy/dx)-6y²=0. (ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2000)

8. Να λυθεί η διαφορική εξίσωση: y΄=y²-(2x+1)y+x²+x+1 αν u=u(x)=x είναι μια μερική λύση της. (ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2000)

9. Διατυπώστε τον πρώτο θεμελιώδες θεώρημα απειροστικού λογισμού και υπολογίστε την ως προς x παράγωγο της συνάρτησης òe^tημtdt (χωρίς υπολογισμό ολοκληρώματος). (ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 1995)

10. Να δοθεί ο πλήρης ορισμός του ορισμένου ολοκληρώματος Rremann για μια φραγμένη συνάρτηση f:[d, b]®R με d, bεR και d<b. (ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 1995)

11. Να μελετηθούν ως προς την σύγκλιση οι σειρές: Σn!/(n⁴+3), Σ2ⁿn!/n^e, Σxⁿ/n^ρ με ρ>0. (ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 1995)

12. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: ò(τοξεφx/x²)dx. (ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 1995)

13. H ακτίνα r=6cm μιας σφαίρας μετρείται κατά προσέγγιση με σφάλμα Δr=-0,003cm. Να υπολογισθεί το εκατοστιαίο σχετικό σφάλμα στη μέτρηση του όγκου της σφαίρας. (ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 1995)

14. Nα λυθεί η διαφορική εξίσωση: y΄=(2xy)/(x²-y²). (ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 1995)

15. Να λυθεί η διαφορική εξίσωση: x+xy΄=y²+x²-2xy+2y, αν είναι μια μερική λύση της η συνάρτηση y(x)=x. (ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 1995)

16. Nα υπολογισθεί το μήκος τόξου της καμπύλης r=1/συνθ, [0, π/4]. (ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 1995)

17. Να υπολογισθεί το έργο της δύναμης F(x,y,z)=(y, 3y³-x, z) όταν μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της κατά μήκος της καμπύλης του επιπέδου r=r(t)=(t,t²), [0, 1]. (ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 1995)

18. Να υπολογισθεί ο όγκος V του στερεού που παράγεται δια περιστροφής της περιοχής R(f(x)=τοξημx, d=0, b=1) του επιπέδου περί τον άξονα των x (κατά γωνία 2π). (ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 1995)

19. α) Να διατυπωθεί το πρώτο θεμελιώδες θεώρημα του απειροστικού λογισμού και να υπολογισθεί η ως προς x παράγωγος της συνάρτησης òe^tημtdt. β) Να λυθεί η διαφορική εξίσωση: (1+x)²(1+y²)dx-yxdy=0. (ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 1993)

20. Να εξετασθούν ως προς την σύγκλιση οι σειρές: Σ(2ⁿn!)/nⁿ, Σημ(1/n). (ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 1993)

21. α) Να υπολογισθεί κατά προσέγγιση το ημίτονο γωνίας 0,2 ακτινίων με τη χρήση των τεσσάρων πρώτων όρων του τύπου του Taylor της συνάρτησης ημx στο σημείο ρ=0. Πόσο είναι το σφάλμα; β) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα òdx/(1+e^x). (ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 1993)

22. α) Να υπολογισθεί το έργο W της δύναμης F(x, y, z)=(x, y+z, z), η οποία μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της κατά μήκος της καμπύλης του χώρου με εξίσωση r=r(t)=(e^t, ημt, συνt), [0, π/2]. β) Να ευρεθούν τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f(x)=x³+2x-5 είναι κυρτή ή κοίλη. (ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 1993)

23. Να ευρεθεί το μήκος τόξου της καμπύλης του επιπέδου με εξίσωση y=logημx, [π/3, 2π/3]. (ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 1993)

24. Να υπολογισθεί το εμβαδόν Ε της περιοχής του επιπέδου η οποία ευρίσκεται μεταξύ των διαγραμμάτων των συναρτήσεων y=3-x² και y=1-x. (ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 1993)

25. Να λυθεί η διαφορική εξίσωση 4y΄+y²+4/x²=0, x¹0, αν γνωρίζουμε ότι μια λύση αυτής είναι της μορφής α/x. (ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 1993)

26. Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα ò[(1+logx)/x]dx. (ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 1993)